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Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\) et \(n\) un entier naturel. Soit \(f\) une fonction élément de \(C^n([a,b],\Rr)\cap D^{n+1}(]a,b[,\Rr)\). Montrer qu’il existe \(c\in]a,b[\) tel que
\[f(b)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\frac{(b-a)^{n+1}f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}.\]
Indication. Appliquer le théorème de Rolle à la fonction \(g(x)=f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(b-x)^k-A\frac{(b-x)^{n+1}}{(n+1)!}\) où \(A\) est intelligemment choisi.