Cet exercice traite des notions de dérivées partielles, continuité et différentiabilité.
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel muni d’un produit scalaire \(\langle \cdot, \cdot \rangle\). Montrer la continuité, puis la différentiabilité et calculer la différentielle de l’application "produit scalaire" \(\Phi : E^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(\Phi(x, y) = \langle x, y \rangle\) pour tous \((x, y) \in E^2\).
Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})\). Montrer que l’application \(J : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) définie par \(J(X) = \|AX\|^2\) est différentiable et calculer sa différentielle. Montrer ensuite que l’application \(G : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) définie par \(G(X) = f(J(X))\) pour une fonction \(f \in C^1(\mathbb{R})\) est différentiable et calculer sa différentielle.