Calcul différentiel

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel muni d’un produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Montrer la continuité, puis la différentiabilité et calculer la différentielle de l’application "produit scalaire" $\Phi : E^2 \to \mathbb{R}$ définie par $\Phi(x, y) = \langle x, y \rangle$ pour tous $(x, y) \in E^2$.

Soit $A \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$. Montrer que l’application $J : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ définie par $J(X) = \|AX\|^2$ est différentiable et calculer sa différentielle. Montrer ensuite que l’application $G : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ définie par $G(X) = f(J(X))$ pour une fonction $f \in C^1(\mathbb{R})$ est différentiable et calculer sa différentielle.