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Soient $x_1$, $x_2$,..., $x_n$, $n$ réels positifs ou nuls et $\alpha_1$,..., $\alpha_n$, $n$ réels strictement positifs tels que $\alpha_1+...+\alpha_n=1$. Montrer que $x_1^{\alpha_1}..x_n^{\alpha_n}\leq\alpha_1x_1+...+\alpha_nx_n$. En déduire que $\sqrt[n]{x_1...x_n}\leq\frac{x_1+...+x_n}{n}$.

Soient $p$ et $q$ deux réels strictement positifs tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ positifs ou nuls, $ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$ avec égalité si et seulement si $a^p=b^q$.

Soient $a_1$,..., $a_n$ et $b_1$,..., $b_n$, $2n$ nombres complexes. Montrer que :

$$\left|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right|\leq\sum_{k=1}^{n}|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^{n}|b_k|^q\right)^{1/q}\;(\mbox{Inégalité de \textsc{Hölder}}).$$

Montrer que la fonction $x\mapsto x^p$ est convexe et retrouver ainsi l’inégalité de Hölder.

Trouver une démonstration directe et simple dans le cas $p=q=2$ (inégalité de Cauchy-Schwarz).