Soient \(x_1\), \(x_2\),..., \(x_n\), \(n\) réels positifs ou nuls et \(\alpha_1\),..., \(\alpha_n\), \(n\) réels strictement positifs tels que \(\alpha_1+...+\alpha_n=1\). Montrer que \(x_1^{\alpha_1}..x_n^{\alpha_n}\leq\alpha_1x_1+...+\alpha_nx_n\). En déduire que \(\sqrt[n]{x_1...x_n}\leq\frac{x_1+...+x_n}{n}\).
Soient \(p\) et \(q\) deux réels strictement positifs tels que \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).
Montrer que, pour tous réels \(a\) et \(b\) positifs ou nuls, \(ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\) avec égalité si et seulement si \(a^p=b^q\).
Soient \(a_1\),..., \(a_n\) et \(b_1\),..., \(b_n\), \(2n\) nombres complexes. Montrer que :
\[\left|\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right|\leq\sum_{k=1}^{n}|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^{n}|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^{n}|b_k|^q\right)^{1/q}\;(\mbox{Inégalité de \textsc{Hölder}}).\]
Montrer que la fonction \(x\mapsto x^p\) est convexe et retrouver ainsi l’inégalité de Hölder.
Trouver une démonstration directe et simple dans le cas \(p=q=2\) (inégalité de Cauchy-Schwarz).