L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPST 5 questions

exo7 3979

On note EE l’ensemble des fonctions ff de classe C1\mathcal{C}^1 bijectives de ]0,+∞[]0,+\infty[ sur ]0,+∞[]0,+\infty[ telles que f′=f−1f' = f^{-1}.

1

Trouver un élément de EE du type x↦cxmx \mapsto c x^m, où cc et mm sont réels.

2

Quelle est la limite en 00 de ff ?

3

Montrer que ff est un C∞\mathcal{C}^\infty difféomorphisme de ]0,+∞[]0,+\infty[ sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

4

Montrer que ff admet un unique point fixe.

5

Soit gg un deuxième élément de EE. Montrer que gg admet le même point fixe que ff.

Exercice si1j

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