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Soit $x_0$ un réel non nul. Une équation de la tangente $(T_{x_0})$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $x_0$ est $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ . $(T_{x_0})$ passe par l’origine si et seulement si

$x_0f'(x_0)-f(x_0)=0.$

Pour $x$ réel, on pose $g(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{f(x)}{x}\;\mbox{si}\;x\neq0\\ 0\;\mbox{si}\;x=0 \end{array} \right.$ ( $g$ est la fonction pente à l’origine ).

Puisque $f$ est continue et dérivable sur $\Rr$ , $g$ est déjà continue et dérivable sur $\Rr^*$ .

Puisque $f$ est dérivable en $0$ et que $f(0)=f'(0)=0$ , $g$ est de plus continue en $0$ .

Finalement, $g$ est continue sur $[0,a]$ , dérivable sur $]0,a[$ et vérifie $g(0)=g(a)(= 0)$ . D’après le théorème de Rolle, il existe un réel $x_0$ dans $]0,a[$ tel que $g'(x_0)=0$ . Puisque $x_0$ n’est pas nul, on a $g'(x_0)=\frac{x_0f'(x_0)-f(x_0)}{x_0^2}$ . L’égalité $g'(x_0)=0$ s’écrit $x_0f'(x_0)-f(x_0)=0$ et, d’après le début de l’exercice, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $x_0$ passe par l’origine.

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