La limite de \(f\) en \(0\) est \(0\), donc \(f\) est continue en \(0\). De même le taux d’accroissement de \(f\) en \(0\) est \(f(x)/x\) qui tend vers \(0\). Donc \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0)=0\). En dehors de \(0\), on a \(f'(x) = 2{e^{-{x}^{-2}}}{x}^{-3}\) donc \(f'\) est continue en \(0\).

On continue de la même façon en remarquant que si \(f^{(n)}(x) = P(1/x) \exp(-1/x^2)\) où \(P\) est un polynôme et \(f^{(n)}(0) = 0\). Donc \(f^{(n)}(x)\) tend vers \(0\) si \(x\) tend vers \(0\). Donc \(f^{(n)}\) est continue. De plus \(f^{(n)}\) est dérivable en \(0\) car son taux d’accroissement vaut \(1/x P(1/x) \exp(-1/x^2)\) qui tend vers \(0\), donc \(f^{(n+1)}(0) = 0\). En dehors de \(0\) on \(f^{(n+1)}(x) = Q(1/x) \exp(-1/x^2)\) où \(Q\) est un polynôme. Et on recommence...

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