La fonction $f$ est continue et dérivable sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty[$ . Le seul problème est en $x=1$ .

Il faut d’abord que la fonction soit continue en $x=1$ . La limite à gauche est $\lim_{x\rightarrow 1^-} \sqrt x = +1$ et à droite $\lim_{x\rightarrow 1^+} ax^2+bx+1 = a+b+1$ . Donc $a+b+1=1$ . Autrement dit $b = -a$ .

Il faut maintenant que les dérivées à droite et à gauche soient égales. Comme la fonction $f$ restreinte à $]0,1]$ est définie par $x \mapsto \sqrt{x}$ alors elle est dérivable à gauche et la dérivée à gauche s’obtient en évaluant la fonction dérivée $x \mapsto \frac{1}{2\sqrt x}$ en $x=1$ . Donc $f'_g(1)=\frac 12$ .

Pour la dérivée à droite il s’agit de calculer la limite du taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$ , lorsque $x \to 1$ avec $x>1$ . Or $\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{ax^2+bx+1 - 1}{x-1} = \frac{ax^2-ax}{x-1} = \frac{ax(x-1)}{x-1} = ax.$ Donc $f$ est dérivable à droite et $f'_d(1) = a$ . Afin que $f$ soit dérivable, il faut et il suffit que les dérivées à droite et à gauche existent et soient égales, donc ici la condition est $a=\frac 12$ .

Le seul couple $(a,b)$ que rend $f$ dérivable sur $]0,+\infty[$ est $(a=\frac 12, b= -\frac 12)$ .

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