Soit \(f\) une application de \({ \Rr}\) dans \({ \Rr}\) dérivable en \(0 .\) Montrer qu’il existe une application \(\epsilon\) de \({ \Rr}\) dans lui-même telle que \(\forall x\in { \Rr} : f(x)= f(0)+ xf'(0)+x \epsilon (x)\) et \(\displaystyle{\lim _{x\rightarrow 0} \epsilon (x)=0 } .\) Donner une interprtation géométrique de ce résultat.
En déduire les limites des suites \((u_n)_{n \geq 1}\) et \((v_n)_{n\geq 1}\) définies en posant, pour tout \(n \in { \Nn}^*\) : \(\displaystyle{u_n = (n^3+1)^{\frac{1}{ 3}}-n}\) et \(\displaystyle{v_n=(1+\frac{\alpha}{ n})^{\frac{1}{ n}}} .\)
Construire un exemple de suite \((w_n)_{n \geq 1}\) avec, \(u_n<1\) pour tout \(n \geq 1\) et telle que \(\displaystyle{ \lim _{n\rightarrow \infty }w_n =1} .\) (On pourra s’inpirer de l’exemple de \((v_n)_{n\geq 1}\) ci-dessus.)