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Soit $f$ une application de ${ \Rr}$ dans ${ \Rr}$ dérivable en $0 .$ Montrer qu’il existe une application $\epsilon$ de ${ \Rr}$ dans lui-même telle que $\forall x\in { \Rr} : f(x)= f(0)+ xf'(0)+x \epsilon (x)$ et $\displaystyle{\lim _{x\rightarrow 0} \epsilon (x)=0 } .$ Donner une interprtation géométrique de ce résultat.

En déduire les limites des suites $(u_n)_{n \geq 1}$ et $(v_n)_{n\geq 1}$ définies en posant, pour tout $n \in { \Nn}^*$ : $\displaystyle{u_n = (n^3+1)^{\frac{1}{ 3}}-n}$ et $\displaystyle{v_n=(1+\frac{\alpha}{ n})^{\frac{1}{ n}}} .$

Construire un exemple de suite $(w_n)_{n \geq 1}$ avec, $u_n<1$ pour tout $n \geq 1$ et telle que $\displaystyle{ \lim _{n\rightarrow \infty }w_n =1} .$ (On pourra s’inpirer de l’exemple de $(v_n)_{n\geq 1}$ ci-dessus.)