Soit \(f : {\R} \to {\R}\) continue. On suppose que : \(\forall\ x \in \R,\ D^2f(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}\) existe.
1
Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\), calculer \(D^2f(x)\).
2
Soit \(f\) quelconque et \(a < b < c\) tels que \(f(a) = f(b) = f(c)\).
Montrer qu’il existe \(x \in {]a,c[}\) tq \(D^2f(x) \le 0\).
On suppose à présent que : \(\forall\ x \in \R, D^2f(x) \ge 0\).
3
Soient \(a < b < c\) et \(P\) le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 coïncidant avec \(f\) aux points \(a,b,c\). Montrer que \(P'' \ge 0\).
4
Calculer \(P''\) en fonction de \(a,b,c\) et \(f(a),f(b),f(c)\). En déduire que \(f\) est convexe.