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Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$, calculer $D^2f(x)$.

Soit $f$ quelconque et $a < b < c$ tels que $f(a) = f(b) = f(c)$.

Montrer qu’il existe $x \in {]a,c[}$ tq $D^2f(x) \le 0$.

On suppose à présent que : $\forall\ x \in \R, D^2f(x) \ge 0$.

Soient $a < b < c$ et $P$ le polynôme de degré inférieur ou égal à 2 coïncidant avec $f$ aux points $a,b,c$. Montrer que $P'' \ge 0$.

Calculer $P''$ en fonction de $a,b,c$ et $f(a),f(b),f(c)$. En déduire que $f$ est convexe.