Soit \(f\) une application continue d’un intervalle \(]a,b[\) à valeurs dans \({ \Rr} ,\) dérivable en \(c \in ]a,b[ .\) Montrer qu’il existe une (unique) application continue \(\epsilon\) de \(]a,b[\) dans \({ \Rr}\) telle que \(f(c)=0\) et, pour tout \(x \in ]a,b[\) distinct de \(c ,\) on ait : \[f (x)=f (c) +(x-c)f'(c)+ (x-c)\epsilon (x)\]
Montrer que la suite \((S_n)_{n\geq 1}\) de terme général : \[S_n = \displaystyle\frac{ 1}{ n}+\displaystyle{\frac{ 1}{ n+1}}+\cdots + \displaystyle{\frac{ 1}{2n}} =\displaystyle{\sum _{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle n}\frac{1}{ n+k}}\] est décroissante et qu’elle converge vers une limite que l’on nommera \(S .\)
Pourquoi peut on dire, a priori, que \(\displaystyle{\frac{1}{ 2}}\leq S \leq 1 ?\)
Soit \(f : \rbrack -1, 1\lbrack \rightarrow { \Rr}\) une application continue, dérivable en \(0\) et telle que \(f(0)=0 .\) Montrer que la suite \((\sigma _n(f))_{n\geq 1}\) de terme général : \[\sigma _n(f) = \displaystyle f\left( \frac{ 1}{ n}\right) +\displaystyle f\left(\frac{ 1}{ n+1}\right) +\cdots + \displaystyle f\left(\frac{ 1}{ 2n} \right)\] converge vers \(f'(0)S\) (utiliser 1.).
Montrer que \(\sigma _n(f)=\hbox{log }(2)\) lorsque \(f\) est l’application \(x\mapsto \hbox{log }(1+x)\) et en déduire la valeur de \(S .\)
Calculer la limite de la suite \((\sigma _n)_{n\geq 1}\) de terme général : \[\sigma _n = \displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ n}+\displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ n+1}+\cdots + \displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ 2n} .\]
Plus généralement, quelle est la valeur pour \(p\in { \Nn}^*\) donné, de la limite \(S_p\) de la suite \((\sigma _n(p))_{n\geq 1}\) de terme général : \[\sigma _n(p) =\displaystyle{\sum _{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle pn}\frac{1}{ n+k}} ?\]