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Soit $f$ une application continue d’un intervalle $]a,b[$ à valeurs dans ${ \Rr} ,$ dérivable en $c \in ]a,b[ .$ Montrer qu’il existe une (unique) application continue $\epsilon$ de $]a,b[$ dans ${ \Rr}$ telle que $f(c)=0$ et, pour tout $x \in ]a,b[$ distinct de $c ,$ on ait : $$f (x)=f (c) +(x-c)f'(c)+ (x-c)\epsilon (x)$$

Montrer que la suite $(S_n)_{n\geq 1}$ de terme général : $$S_n = \displaystyle\frac{ 1}{ n}+\displaystyle{\frac{ 1}{ n+1}}+\cdots + \displaystyle{\frac{ 1}{2n}} =\displaystyle{\sum _{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle n}\frac{1}{ n+k}}$$ est décroissante et qu’elle converge vers une limite que l’on nommera $S .$

Pourquoi peut on dire, a priori, que $\displaystyle{\frac{1}{ 2}}\leq S \leq 1 ?$

Soit $f : \rbrack -1, 1\lbrack \rightarrow { \Rr}$ une application continue, dérivable en $0$ et telle que $f(0)=0 .$ Montrer que la suite $(\sigma _n(f))_{n\geq 1}$ de terme général : $$\sigma _n(f) = \displaystyle f\left( \frac{ 1}{ n}\right) +\displaystyle f\left(\frac{ 1}{ n+1}\right) +\cdots + \displaystyle f\left(\frac{ 1}{ 2n} \right)$$ converge vers $f'(0)S$ (utiliser 1.).

Montrer que $\sigma _n(f)=\hbox{log }(2)$ lorsque $f$ est l’application $x\mapsto \hbox{log }(1+x)$ et en déduire la valeur de $S .$

Calculer la limite de la suite $(\sigma _n)_{n\geq 1}$ de terme général : $$\sigma _n = \displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ n}+\displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ n+1}+\cdots + \displaystyle \hbox{sin }\frac{ 1}{ 2n} .$$

Plus généralement, quelle est la valeur pour $p\in { \Nn}^*$ donné, de la limite $S_p$ de la suite $(\sigma _n(p))_{n\geq 1}$ de terme général : $$\sigma _n(p) =\displaystyle{\sum _{\scriptstyle k=0}^{\scriptstyle pn}\frac{1}{ n+k}} ?$$