Soit \(I\) un intervalle ouvert contenant \(0\) et \(1\) et \(f: I \rightarrow \Rr\) une fonction dérivable. On pose \(p=f(1)-f(0).\)
1
Soit \(g :[0,1]\rightarrow \Rr\) la fonction définie par \(g(0)=f'(0)\) et \(g(x)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\) sinon. Montrer que si \(u\) est un réel compris entre \(f'(0)\) et \(p\) alors il existe \(a\in [0,1]\) tel que \(u=f'(a).\)
2
Soit \(h :[0,1]\rightarrow \Rr\) la fonction définie par \(h(1)=f'(1)\) et \(h(x)=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\) sinon. Montrer que si \(v\) est un réel compris entre \(f'(1)\) et \(p\) alors il existe \(b\in [0,1]\) tel que \(v=f'(b).\)
3
Soit \(w\) un réel compris entre \(f'(0)\) et \(f'(1)\). Montrer qu’il existe \(c\in [0,1]\) tel que \(w=f'(c).\)