Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions d’une variable, de classe \(C^2(\R)\). On définit une fonction \(\varphi \colon \R^2 \to \R\) par : \[\varphi(x,y) = x f(x+y) + y g(x+y)\]
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Calculer \(\dpa{\varphi}{x}\) et \(\dpa{\varphi}{y}\) en fonction de \(x,y,f', g'\).
2
Calculer les dérivées partielles secondes \(\dpsp{\varphi}{x}\), \(\dpsp{\varphi}{y}\), \(\dpsm{\varphi}{x}{y}\), \(\dpsp{\varphi}{y}{x}\) en fonction de \(x,y,f',g',f'', g''\).
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Observer que \(\dpsm{\varphi}{x}{y} = \dpsm{\varphi}{y}{x}\). Quel théorème du cours permet de prévoir ce résultat ?
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En déduire la valeur de : \[\dpsp{\varphi}{x} - 2 \dpsm{\varphi}{x}{y} + \dpsp{\varphi}{y}\]