L1 Analyse Dérivabilité des fonctions réelles Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSIPrépa BCPSTPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 4 questions

Composition de fonctions

Soient ff et gg deux fonctions d’une variable, de classe C2(R)C^2(\R). On définit une fonction φ ⁣:R2→R\varphi \colon \R^2 \to \R par : φ(x,y)=xf(x+y)+yg(x+y)\varphi(x,y) = x f(x+y) + y g(x+y)

1

Calculer ∂φ∂x\dpa{\varphi}{x} et ∂φ∂y\dpa{\varphi}{y} en fonction de x,y,f′,g′x,y,f', g'.

2

Calculer les dérivées partielles secondes ∂2φ∂x2\dpsp{\varphi}{x}, ∂2φ∂y2\dpsp{\varphi}{y}, ∂2φ∂x ∂y\dpsm{\varphi}{x}{y}, ∂2φ∂y2x\dpsp{\varphi}{y}{x} en fonction de x,y,f′,g′,f′′,g′′x,y,f',g',f'', g''.

3

Observer que ∂2φ∂x ∂y=∂2φ∂y ∂x\dpsm{\varphi}{x}{y} = \dpsm{\varphi}{y}{x}. Quel théorème du cours permet de prévoir ce résultat ?

4

En déduire la valeur de : ∂2φ∂x2−2∂2φ∂x ∂y+∂2φ∂y2\dpsp{\varphi}{x} - 2 \dpsm{\varphi}{x}{y} + \dpsp{\varphi}{y}

Exercice zxCh

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