Parcourir les exercices

Adaptation du paragraphe précédent aux fonctions continues par morceaux définies sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert de $\mathbb{R}$.

Notations $\int_a^b f$, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$.
Intégrale convergente (resp. divergente) en $b$, en $a$.

Propriétés des intégrales généralisées :
linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles.

Intégration par parties sur un intervalle quelconque :
$\displaystyle\int_a^b f(t)g'(t)\,\mathrm{d}t=\bigl[fg\bigr]_a^b-\int_a^b f'(t)g(t)\,\mathrm{d}t.$

La démonstration n’est pas exigible.
L’existence des limites finies du produit $fg$ aux bornes de l’intervalle assure que les intégrales de $fg'$ et $f'g$ sont de même nature.
Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.

Changement de variable :
si $\varphi:\,]\alpha,\beta[\,\to\,]a,b[$ est une bijection strictement croissante de classe $\mathscr{C}^1$, et si $f$ est continue sur $]a,b[$, alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ et $\int_\alpha^\beta (f\circ\varphi)(u)\,\varphi'(u)\,\mathrm{d}u$ sont de même nature, et égales en cas de convergence.

La démonstration n’est pas exigible.
Adaptation au cas où $\varphi$ est strictement décroissante.
On applique ce résultat sans justification dans les cas de changements de variable usuels.