Programme de mathématiques PSI
f) Réduction des endomorphismes autoadjoints et des matrices symétriques réelles
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Texte officiel du programme
| Contenus | Capacités et commentaires |
|---|---|
Endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien. | Notation $\mathscr{S}(E)$. Caractérisation des projecteurs orthogonaux. |
Caractérisation d’un endomorphisme autoadjoint à l’aide de sa matrice dans une base orthonormée. | On mentionne la terminologie « endomorphisme symétrique », tout en lui préférant celle d’« endomorphisme autoadjoint ». |
Théorème spectral : tout endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres. | La démonstration n’est pas exigible. Forme matricielle du théorème spectral. |
Endomorphisme autoadjoint positif, défini positif. | Caractérisation spectrale. Notations $\mathscr{S}^+(E)$, $\mathscr{S}^{++}(E)$. |
Matrice symétrique positive, définie positive. | Caractérisation spectrale. Notations $\mathscr{S}_n^+(\mathbb{R})$, $\mathscr{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. |