Si \(a = 0\), \(f = 0\) et il n’y a plus rien à dire.

Si \(a\neq0\), puisque \(f(a) = 0\), \(0\) est valeur propre de \(f\) et \(\text{Vect}(a)\subset E_0(f)\). D’autre part, si \(x\) est orthogonal à \(a\), d’après la formule du double produit vectoriel

\(f(x) = (a.x)a -\|a\|^2x = -\|a\|^2x\).

Donc le réel non nul \(-\|a\|^2\) est valeur propre de \(f\) et \(a^\bot\subset E_{-\|a\|^2}\). Maintenant, \(\text{dim}\text{Vect}(a) +\text{dim}a^\bot= 3\) et donc \(\text{Sp}(f)=(0,-\|a\|^2,-\|a\|^2)\) puis \(E_0(f) = \text{Vect}(a)\) et \(E_{-\|a\|^2}= a^\bot\). On en déduit aussi que \(f\) est diagonalisable. On peut noter que, puisque \(f\) est diagonalisable et que les sous-espaces propres sont orthogonaux, \(f\) est un endomorphisme symétrique.

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