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Montrer qu’il existe un unique endomorphisme $w$ tel que $u\circ w + w\circ u = v$. Que peut-on dire de $w$ ?

On suppose $E$ de dimension $3$, rapporté à une base orthonormale dans laquelle $u$ et $v$ ont pour matrices respectives $A=\begin{pmatrix}4&1&1\cr 1&4&-1\cr1&-1&4\cr\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\phantom-0&-1\cr 0&0&1\cr -1&1&3\cr\end{pmatrix}$. Déterminer $w$.

On revient au cas général. Si $v$ est défini positif, que dire de $w$ ? Si $w$ est défini positif, que dire de $v$ ?