Soit \(E\) un espace euclidien, \(u\) et \(v\) deux endomorphismes auto-adjoints de \(E\), \(u\) étant défini positif.
1
Montrer qu’il existe un unique endomorphisme \(w\) tel que \(u\circ w + w\circ u = v\). Que peut-on dire de \(w\) ?
2
On suppose \(E\) de dimension \(3\), rapporté à une base orthonormale dans laquelle \(u\) et \(v\) ont pour matrices respectives \(A=\begin{pmatrix}4&1&1\cr 1&4&-1\cr1&-1&4\cr\end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix}0&\phantom-0&-1\cr 0&0&1\cr -1&1&3\cr\end{pmatrix}\). Déterminer \(w\).
3
On revient au cas général. Si \(v\) est défini positif, que dire de \(w\) ? Si \(w\) est défini positif, que dire de \(v\) ?