Soit \(E\) un espace préhilbertien et \(\vec u_1,\dots,\vec u_n \in E\). On note \(G = (g_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)\) la matrice de Gram de ces vecteurs (\(g_{ij} = (\vec u_i\mid\vec u_j)\)).
On suppose \(E\) de dimension finie, rapporté à une base orthonormée \({\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_p)\). Exprimer \(G\) en fonction de \(M = \text{Mat}_{\cal B}(\vec u_1,\dots,\vec u_n)\).
En déduire que \(\det(G)\) est un réel positif ou nul, et nul si et seulement si les vecteurs \(\vec u_i\) sont liés.
Montrer le même résultat sans supposer que \(E\) est de dimension finie.
Examiner le cas particulier \(n=2\).
Application : Le tétraèdre \(ABCD\) est tel que \(AB=AC=AD=1\) et \((AB,AC) \equiv \frac \pi4\), \((AB,AD) \equiv \frac \pi3\), \((AC,AD) \equiv \frac\pi2\). Calculer son volume.