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Soit $E$ un espace préhilbertien et $\vec u_1,\dots,\vec u_n \in E$ . On note $G = (g_{ij}) \in \mathcal{M}_n(K)$ la matrice de Gram de ces vecteurs ( $g_{ij} = (\vec u_i\mid\vec u_j)$ ).

On suppose $E$ de dimension finie, rapporté à une base orthonormée ${\cal B} = (\vec e_1,\dots,\vec e_p)$ . Exprimer $G$ en fonction de $M = \text{Mat}_{\cal B}(\vec u_1,\dots,\vec u_n)$ .

En déduire que $\det(G)$ est un réel positif ou nul, et nul si et seulement si les vecteurs $\vec u_i$ sont liés.

Montrer le même résultat sans supposer que $E$ est de dimension finie.

Examiner le cas particulier $n=2$ .

Application : Le tétraèdre $ABCD$ est tel que $AB=AC=AD=1$ et $(AB,AC) \equiv \frac \pi4$ , $(AB,AD) \equiv \frac \pi3$ , $(AC,AD) \equiv \frac\pi2$ . Calculer son volume.

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