Soit \(E=\Rr[X]\). Pour \((P,Q)\in E^2\), on pose \(\varphi(P,Q)=\int_{-1}^{1}\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}\;dt\). Pour \(n\in\Nn\), on note \(T_n\) le \(n\)-ème polynôme de Tchebychev de première espèce c’est-à-dire l’unique polynôme tel que \(\forall\theta\in\Rr\), \(T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)\).
1
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(E\).
2
Montrer que \((T_n)_{n\in\Nn}\) est une base orthogonale de l’espace préhilbertien \((E,\varphi)\).
3
Pour \(n\in\Nn\), déterminer \(\|T_n\|\).