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Soit pour $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ : $q(A) = \mathrm{tr}(A^2)$. Montrer que $q$ est une forme quadratique sur $\mathcal{M}_n(\R)$ et déterminer sa signature (indication : étudier les restrictions de $q$ aux sous-espaces vectoriels des matrices symétriques et antisymétriques).