Soient $n\in\Nn^*$ et $P\in E$ . Une intégration par parties fournit

$\left(L_n|P\right)=\int_{-1}^{1}L_n(x)P(x)\;dx =\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n)}(x) P(x)\;dx =\left[(\ell_n)^{(n-1)}(x) P(x)\right]_{-1}^1-\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-1)}(x) P'(x)\;dx$ .

Maintenant, $-1$ et $1$ sont racines d’ordre $n$ du polynôme $\ell_n$ et donc, pour tout $k\in\llbracket0,n\rrbracket$ , $-1$ et $1$ sont racines d’ordre $n-k$ de $\ell_n^{(k)}$ et en particulier racines de $(\ell_n)^{(k}$ pour $k\in\llbracket0,n-1\rrbracket$ . Donc

$\left(L_n|P\right)=-\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-1)}(x) P'(x)\;dx$ .

Plus généralement, si pour un entier $k\in\llbracket0,n-1\rrbracket$ , $\left(L_n|P\right)= (-1)^{k}\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k)}(x) P^{(k)}(x)\;dx$ alors

$\begin{align*}\ensuremath \left(L_n|P\right)&= (-1)^{k}\left(\left[(\ell_n^{n-k-1}(x)P^{(k)}(x)\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k-1)}(x)P^{(k+1)}(x)\;dx\right)\\ &=(-1)^{k+1}\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k-1)}(x) P^{(k+1)}(x)\;dx. \end{align*}$

On a montré par récurrence que pour tout entier $k\in\llbracket0,n\rrbracket$ , $\left(L_n|P\right)=(-1)^{k}\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k)}(x) P^{(k)}(x)\;dx$ . En particulier

$\left(L_n|P\right)=(-1)^{n}\int_{-1}^{1}\ell_n(x)P^{(n)}(x)\;dx=\int_{-1}^{1}(1-x^2)^nP^{(n)}(x)\;dx$ /quad $(*)$ .

Cette dernière égalité reste vraie pour $n=0$ et on a montré que

$\forall n\in\Nn$ , $\forall P\in\Rr[X]$ , $\left(L_n|P\right)=\int_{-1}^{1}\left(1-x^2\right)^nP^{(n)}(x)\;dx$ .

Soient alors $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $0\leqslant p<n$ . Puisque $\text{deg}(L_p)=p<n$ , on a $\left(L_n|L_p\right)=0$ . On a montré que

La famille $(L_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ est une base orthogonale de l’espace $(\Rr[X],\;|\;)$ .

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