Soient \(n\in\Nn^*\) et \(P\in E\). Une intégration par parties fournit

\(\left(L_n|P\right)=\int_{-1}^{1}L_n(x)P(x)\;dx =\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n)}(x) P(x)\;dx =\left[(\ell_n)^{(n-1)}(x) P(x)\right]_{-1}^1-\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-1)}(x) P'(x)\;dx\).

Maintenant, \(-1\) et \(1\) sont racines d’ordre \(n\) du polynôme \(\ell_n\) et donc, pour tout \(k\in\llbracket0,n\rrbracket\), \(-1\) et \(1\) sont racines d’ordre \(n-k\) de \(\ell_n^{(k)}\) et en particulier racines de \((\ell_n)^{(k}\) pour \(k\in\llbracket0,n-1\rrbracket\). Donc

\(\left(L_n|P\right)=-\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-1)}(x) P'(x)\;dx\).

Plus généralement, si pour un entier \(k\in\llbracket0,n-1\rrbracket\), \(\left(L_n|P\right)= (-1)^{k}\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k)}(x) P^{(k)}(x)\;dx\) alors

\[\begin{align*}\ensuremath \left(L_n|P\right)&= (-1)^{k}\left(\left[(\ell_n^{n-k-1}(x)P^{(k)}(x)\right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k-1)}(x)P^{(k+1)}(x)\;dx\right)\\ &=(-1)^{k+1}\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k-1)}(x) P^{(k+1)}(x)\;dx. \end{align*}\]

On a montré par récurrence que pour tout entier \(k\in\llbracket0,n\rrbracket\), \(\left(L_n|P\right)=(-1)^{k}\int_{-1}^{1}(\ell_n)^{(n-k)}(x) P^{(k)}(x)\;dx\). En particulier

\(\left(L_n|P\right)=(-1)^{n}\int_{-1}^{1}\ell_n(x)P^{(n)}(x)\;dx=\int_{-1}^{1}(1-x^2)^nP^{(n)}(x)\;dx\)/quad\((*)\).

Cette dernière égalité reste vraie pour \(n=0\) et on a montré que

Soient alors \(n\) et \(p\) deux entiers naturels tels que \(0\leqslant p<n\). Puisque \(\text{deg}(L_p)=p<n\), on a \(\left(L_n|L_p\right)=0\). On a montré que

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