Soit \(H\) un espace euclidien, \((y_j)_{j\in I}\) une famille de vecteurs de \(H\) telle qu’il existe \(A\) et \(B\) strictement positifs vérifiant : \[\forall\ x\in H,\ A\|x\|^2 \le \sum_{j\in I}(x\mid y_j)^2 \le B\|x\|^2.\]
1
Montrer que \((y_j)_{j\in I}\) engendre \(H\).
2
On choisit \(H=\R^2\). Montrer que \(y_1=\left(\begin{smallmatrix}0\cr1\end{smallmatrix}\right)\), \(y_2=\left(\begin{smallmatrix}-\sqrt3/2\cr-1/2\cr\end{smallmatrix}\right)\), \(y_3=y_2\) conviennent.
3
Si \(A=B=1\) et \(\|y_j\|=1\) pour tout \(j\), montrer que \((y_j)_{j\in I}\) est une base orthonormale.
4
Si \(A=B\), montrer que pour tout \(x\in H\), \(x=\frac1A\sum_{j\in I}(x\mid y_j)y_j\).