L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa BCPST Prépa PSI Prépa PT Prépa BCPST 4 questions

exo7 3691

Soit $H$ un espace euclidien, $(y_j)_{j\in I}$ une famille de vecteurs de $H$ telle qu’il existe $A$ et $B$ strictement positifs vérifiant : $\forall\ x\in H,\ A\|x\|^2 \le \sum_{j\in I}(x\mid y_j)^2 \le B\|x\|^2.$

Montrer que $(y_j)_{j\in I}$ engendre $H$ .

On choisit $H=\R^2$ . Montrer que $y_1=\left(\begin{smallmatrix}0\cr1\end{smallmatrix}\right)$ , $y_2=\left(\begin{smallmatrix}-\sqrt3/2\cr-1/2\cr\end{smallmatrix}\right)$ , $y_3=y_2$ conviennent.

Si $A=B=1$ et $\|y_j\|=1$ pour tout $j$ , montrer que $(y_j)_{j\in I}$ est une base orthonormale.

Si $A=B$ , montrer que pour tout $x\in H$ , $x=\frac1A\sum_{j\in I}(x\mid y_j)y_j$ .