L’application $(P,Q)\mapsto\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\;dt$ est un produit scalaire sur $E=\Rr_3[X]$ . Déterminons une base orthonormée de $E$ . Pour cela, déterminons $(Q_0,Q_1,Q_2,Q_3)$ l’orthonormalisée de la base canonique $(P_0,P_1,P_2,P_3)=(1,X,X^2,X^3)$ . $||P_0||^2=\int_{-1}^{1}1^2\;dt=2$ et on prend $Q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$ . $P_1|Q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1}t\;dt=0$ puis $P_1-(P_1|Q_0)Q_0=X$ puis $||P_1-(P_1|Q_0)Q_0||^2=\int_{-1}^{1}t^2\;dt=\frac{2}{3}$ et $Q_1=\sqrt{\frac{3}{2}}X$ . $P_2|Q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^{1}t^2\;dt=\frac{\sqrt{2}}{3}$ et $P_2|Q_1=0$ . Donc, $P_2-(P_2|Q_0)Q_0-(P_2|Q_1)Q_1=X^2-\frac{1}{3}$ , puis $||P_2-(P_2|Q_0)Q_0-(P_2|Q_1)Q_1||^2=\int_{-1}^{1}\left(t^2-\frac{1}{3}\right)^2\;dt=2\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{9}+\frac{1}{9}\right)= \frac{8}{45}$ et $Q_2=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}(3X^2-1)$ . $P_3|Q_0=P_3|Q_2=0$ et $P_3|Q_1=\sqrt{\frac{3}{2}}\int_{-1}^{1}t^4\;dt=\frac{\sqrt{6}}{5}$ et $P_3-(P_3|Q_0)Q_0-(P_3|Q_1)Q_1-(P_3|Q_2)Q_2=X^3-\frac{3}{5}X$ , puis $\left\|X^3-\frac{3}{5}X\right\|^2=\int_{-1}^{1}\left(t^3-\frac{3}{5}t\right)^2\;dt=2\left(\frac{1}{7}-\frac{6}{25}+\frac{3}{25}\right)=2\frac{25-21}{175}=\frac{8}{175}$ , et $Q_3=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}(5X^3-3X)$ . Une base orthonormée de $E$ est $(Q_0,Q_1,Q_2,Q_3)$ où $Q_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$ , $Q_1=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}X$ , $Q_2=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}(3X^2-1)$ et $Q_3=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}(5X^3-3X)$ . Soit alors $P$ un élément quelconque de $E=\Rr_3[X]$ tel que $\int_{-1}^{1}P^2(t)\;dt=1$ . Posons $P=aQ_0+bQ_1+cQ_2+dQ_3$ . Puisque $(Q_0,Q_1,Q_2,Q_3)$ est une base orthonormée de $E$ , $\int_{-1}^{1}P^2(t)\;dt=||P||^2=a^2+b^2+c^2+d^2=1$ . Maintenant, pour $x\in[-1,1]$ , en posant $M_i=\mbox{Max}\{|Q_i(x)|,\;x\in[-1,1]\}$ , on a :

$\begin{align*}\ensuremath |P(x)|&\leq|a|\times|Q_0(x)|+|b|\times|Q_1(x)|+|c|\times|Q_2(x)|+|d|\times|Q_3(x)|\leq|a|M_0+|b|M_1+|c|M_2+|d|M_3\\ &\leq\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\sqrt{M_0^2+M_1^2+M_2^2+M_3^2}=\sqrt{M_0^2+M_1^2+M_2^2+M_3^2}. \end{align*}$ Une étude brève montre alors que chaque $|P_i|$ atteint son maximum sur $[-1,1]$ en $1$ (et $-1$ ) et donc

$\sqrt{M_0^2+M_1^2+M_2^2+M_3^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+\frac{7}{2}}=2\sqrt{2}.$ Ainsi, $\forall x\in[-1,1],\;|P(x)|\leq2\sqrt{2}$ et donc $\mbox{Max}\{|P(x)|,\;x\in[-1,1]\}\leq2\sqrt{2}$ . Etudions les cas d’égalité. Soit $P\in\Rr_3[X]$ un polynôme éventuel tel que $\mbox{Max}\{|P(x)|,\;x\in[-1,1]\}\leq2\sqrt{2}$ . Soit $x_0\in[-1,1]$ tel que $\mbox{Max}\{|P(x)|,\;x\in[-1,1]\}=|P(x_0)|$ . Alors :

$\begin{align*}\ensuremath 2\sqrt{2}&=|P(x_0)|\leq|a|\times|Q_0(x_0)|+|b|\times|Q_1(x_0)|+|c|\times|Q_2(x_0)|+|d|\times|Q_3(x_0)|\leq|a|M_0+|b|M_1+|c|M_2+|d|M_3\\ &\leq\sqrt{M_0^2+M_1^2+M_2^2+M_3^2}=2\sqrt{2}. \end{align*}$ Chacune de ces inégalités est donc une égalité. La dernière (Cauchy-Schwarz) est une égalité si et seulement si $(|a|,|b|,|c|,|d|)$ est colinéaire à $(1,\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{7})$ ou encore si et seulement si $P$ est de la forme $\lambda(\pm Q_0\pm\sqrt{3}Q_1\pm\sqrt{5}Q_2\pm\sqrt{7}Q_3)$ où $\lambda^2(1+3+5+7)=1$ et donc $\lambda=\pm\frac{1}{4}$ , ce qui ne laisse plus que $16$ polynômes possibles. L’avant-dernière inégalité est une égalité si et seulement si $x_0\in\{-1,1\}$ (clair). La première inégalité est une égalité si et seulement si

$|aQ_0(1)+bQ_1(1)+cQ_2(1)+dQ_3(1)|=|a|Q_0(1)+|b|Q_1(1)+|c|Q_2(1)+|d|Q_3(1),$ ce qui équivaut au fait que $a$ , $b$ , $c$ et $d$ aient même signe et $P$ est l’un des deux polynômes

$\begin{align*}\ensuremath \pm\frac{1}{4}(Q_0+\sqrt{3}Q_1+\sqrt{5}Q_2+\sqrt{7}Q_3)&=\pm\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(1+3X+\frac{5}{2}(3X^2-1) +\frac{7}{2}(5X^3-3X)\right)\\ &=\pm\frac{1}{8\sqrt{2}}(35X^3+15X2-15X-3) \end{align*}$

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