Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\) auto-adjoint et \(\lambda_1 \le \lambda_2 \le \dots \le \lambda_n\) ses valeurs propres.
1
Montrer que : \(\forall\ \vec x \in E,\ \lambda_1 \|\vec x\,\|^2 \le (f(\vec x)\mid\vec x) \le \lambda_n \|\vec x\,\|^2\).
2
Montrer que si l’une de ces deux inégalités est une égalité pour un vecteur \(\vec x\ne\vec 0\), alors \(\vec x\) est vecteur propre de \(f\).
3
Soit \((\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) une base orthonormée de \(E\) telle que pour tout \(i\) : \((f(\vec e_i)\mid\vec e_i) = \lambda_i\).
Montrer que : \(\forall\ i,\ f(\vec e_i) = \lambda_i\vec e_i\).