L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa BCPST 4 questions

exo7 1488

Soient EE un espace vectoriel euclidien, FF et GG deux sous-espace vectoriels supplémentaires de EE et pp le projecteur de EE d’axe FF et de direction GG.

1

On suppose que F⊥GF\perp G. Montrer que ∀x∈E,∥p(x)∥≤∥x∥.\forall x\in E, \|p(x)\|\le\|x\|.

2

On suppose que ∀x∈E,∥p(x)∥≤∥x∥\forall x\in E, \|p(x)\|\le\|x\|.

3

Soient a∈Fa\in F et b∈Gb\in G. Montrer que ∥a+b∥≥∥a∥\|a+b\|\ge\|a\|.

4

En déduire que F⊥GF\perp G.

Exercice 78ui

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