1
Montrer que les applications : \[{N_1} : {\R^2} \to \R, {(x,y)} \mapsto {\sqrt{x^2+xy+y^2}} \quad\text{et}\quad {N_2} : {\R^2} \mapsto \R, {(x,y)} \mapsto {\sqrt{2x^2-xy+y^2}}\] sont des normes.
2
Montrer qu’il existe \(\alpha,\beta > 0\) tels que : \(\forall\ (x,y)\in\R^2,\ \alpha N_2(x,y) \le N_1(x,y) \le \beta N_2(x,y)\).
3
Trouver les meilleures constantes \(\alpha,\beta\) (étudier si \(N_1(x,y)^2 - \lambda N_2(x,y)^2\) est positive, négative).