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Sur $E=\Rr_n[X]$ , on pose $P|Q=\int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\;dt$ .

Montrer que $(E,|)$ est un espace euclidien.

Pour $p$ entier naturel compris entre $0$ et $n$ , on pose $L_p=((X^2-1)^p)^{(p)}$ . Montrer que $\left(\frac{L_p}{||L_p||}\right)_{0\leq p\leq n}$ est l’orthonormalisée de Schmidt de la base canonique de $E$ .