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Montrer que $E$, muni de $(\ \mid\ )$, est un espace euclidien.

Soit $K = \R_{n-1}[X]^\bot$ et $P \in K\setminus\{0\}$. Quel est le degré de $P$ ?

Soit $\Phi\ :\ x \mapsto \int_{t=0}^1 P(t)t^x\,d t$. Montrer que $\Phi$ est une fonction rationnelle.

Trouver $\Phi$ à une constante multiplicative près.

En déduire les coefficients de $P$.

En déduire une base orthogonale de $E$.