Soit \(E = \R_n[X]\) et \((P\mid Q) = \int_{t=0}^1 P(t)Q(t)\,d t\).
1
Montrer que \(E\), muni de \((\ \mid\ )\), est un espace euclidien.
2
Soit \(K = \R_{n-1}[X]^\bot\) et \(P \in K\setminus\{0\}\). Quel est le degré de \(P\) ?
3
Soit \(\Phi\ :\ x \mapsto \int_{t=0}^1 P(t)t^x\,d t\). Montrer que \(\Phi\) est une fonction rationnelle.
4
Trouver \(\Phi\) à une constante multiplicative près.
5
En déduire les coefficients de \(P\).
6
En déduire une base orthogonale de \(E\).