Les quatre applications \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\psi_1\) et \(\psi_2\) sont effectivement des formes linéaires sur \(E\).

Cherchons tout d’abord la future base préduale de la famille \((\varphi_1,\varphi_2,\psi_1,\psi_2)\). On note \((P_0,P_1,P_2,P_3)\) cette future base.

On doit avoir \(\varphi_1(P_2)=\varphi_2(P_2)=\psi_2(P_2)=0\) et \(\psi_1(P_2)=1\). Ainsi, \(P_2\) s’annule en \(0\) et en \(1\) et de plus \(P_2'(1) = 0\). Donc \(P_2\) admet \(0\) pour racine d’ordre \(1\) au moins et \(1\) pour racine d’ordre 2 au moins. Puisque \(P_2\) est de degré inférieur ou égal à \(3\), il existe une constante \(a\) telle que \(P_2=aX(X-1)^2=aX^3-2aX^2+aX\) puis \(P_2'(0) = 1\) fournit \(a = 1\) puis \(P_2 =X(X-1)^2\).

De même, il existe une constante \(a\) telle que \(P_3 = aX^2(X-1)=aX^3-aX^2\) et \(1 = P_3'(1) = 3a - 2a\) fournit \(P_3 = X^2(X-1)\).

\(P_0\) admet \(1\) pour racine double et donc il existe deux constantes \(a\) et \(b\) telles que \(P_0 =(aX+b)(X-1)^2\) puis les égalités \(P_0(0) =1\) et \(P_0'(0) = 0\) fournissent \(b = 1\) et \(a - 2b = 0\). Par suite, \(P_0 =(2X+1)(X-1)^2\).

\(P_1\) admet \(0\) pour racine double et il existe deux constantes \(a\) et \(b\) telles que \(P_1 = (aX+b)X^2\) puis les égalités \(P_1(1) = 1\) et \(P_1'(1) = 0\) fournissent \(a+b = 1\) et \(3a+2b = 0\) et donc \(P_1 = (-2X + 3)X^2\).

Montrons alors que \((\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)\) est une base de \(E^*\). Cette famille est libre car si \(a\varphi_1+ b\varphi_2 + c\psi_1 + d\psi_2 = 0\), on obtient en appliquant successivement à \(P_0\), \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\), \(a=b=c=d=0\). Mais alors, la famille \((\varphi_1,\varphi_2,\psi_1,\psi_2)\) est une famille libre de \(E^*\) de cardinal \(4\)et donc une base de \(E^*\). Sa préduale est \((P_0,P_1,P_2,P_3)\).

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