Les quatre applications $\varphi_1$ , $\varphi_2$ , $\psi_1$ et $\psi_2$ sont effectivement des formes linéaires sur $E$ .

Cherchons tout d’abord la future base préduale de la famille $(\varphi_1,\varphi_2,\psi_1,\psi_2)$ . On note $(P_0,P_1,P_2,P_3)$ cette future base.

On doit avoir $\varphi_1(P_2)=\varphi_2(P_2)=\psi_2(P_2)=0$ et $\psi_1(P_2)=1$ . Ainsi, $P_2$ s’annule en $0$ et en $1$ et de plus $P_2'(1) = 0$ . Donc $P_2$ admet $0$ pour racine d’ordre $1$ au moins et $1$ pour racine d’ordre 2 au moins. Puisque $P_2$ est de degré inférieur ou égal à $3$ , il existe une constante $a$ telle que $P_2=aX(X-1)^2=aX^3-2aX^2+aX$ puis $P_2'(0) = 1$ fournit $a = 1$ puis $P_2 =X(X-1)^2$ .

De même, il existe une constante $a$ telle que $P_3 = aX^2(X-1)=aX^3-aX^2$ et $1 = P_3'(1) = 3a - 2a$ fournit $P_3 = X^2(X-1)$ .

$P_0$ admet $1$ pour racine double et donc il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que $P_0 =(aX+b)(X-1)^2$ puis les égalités $P_0(0) =1$ et $P_0'(0) = 0$ fournissent $b = 1$ et $a - 2b = 0$ . Par suite, $P_0 =(2X+1)(X-1)^2$ .

$P_1$ admet $0$ pour racine double et il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que $P_1 = (aX+b)X^2$ puis les égalités $P_1(1) = 1$ et $P_1'(1) = 0$ fournissent $a+b = 1$ et $3a+2b = 0$ et donc $P_1 = (-2X + 3)X^2$ .

$P_0=(2X+1)(X-1)^2$ , $P_1=(-2X+3)X^2$ , $P_2=X(X-1)^2$ et $P_3=X^2(X-1)$ .

Montrons alors que $(\varphi_0,\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3)$ est une base de $E^*$ . Cette famille est libre car si $a\varphi_1+ b\varphi_2 + c\psi_1 + d\psi_2 = 0$ , on obtient en appliquant successivement à $P_0$ , $P_1$ , $P_2$ et $P_3$ , $a=b=c=d=0$ . Mais alors, la famille $(\varphi_1,\varphi_2,\psi_1,\psi_2)$ est une famille libre de $E^*$ de cardinal $4$ et donc une base de $E^*$ . Sa préduale est $(P_0,P_1,P_2,P_3)$ .

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