1ère solution. (n’utilisant pas les valeurs propres) Soient $A$ la matrice de l’énoncé puis $X =(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ un élément de $\mathcal{M}_{n,1}(\Rr)$ .

$\begin{align*}\ensuremath {^t}XAX&= (n-1)\sum_{i=1}^{n}x_i^2 -\sum_{i\neq j}^{}x_ix_j=\sum_{i\neq j}^{}(x_i^2- x_ix_j)=\frac{1}{2}\left(\sum_{i\neq j}^{}x_i^2-2 x_ix_j+x_j^2\right)\\ &=\sum_{i\neq j}(x_i-x_j)^2\geqslant 0 \end{align*}$

et donc la matrice $A$ est positive. De plus, si $X=\left(1\right)_{1\leqslant i\leqslant n}\neq0$ , ${^t}XAX= 0$ et donc la matrice $A$ n’est pas définie.

2ème solution. La matrice $A$ est symétrique réelle. Donc ses valeurs propres sont réelles et $A$ est diagonalisable. Par suite, la dimension de chacun de des sous-espaces propres de $A$ est égale à l’ordre de multiplicité de la valeur propre correspondante.

On note alors que $\text{rg}(A - nI_n) = 1$ et donc $n$ est valeur propre de $A$ d’ordre $n-1$ . Soit $\lambda$ la valeur propre manquante.

$(n-1)n+\lambda=\text{Tr}A = n(n-1)$ .

Donc $\lambda= 0$ . Ainsi, $\text{Sp}(A)\subset\Rr^+$ et donc la matrice $A$ est positive mais $0$ est valeur propre de $A$ et donc la matrice $A$ n’est pas définie.

La matrice $A$ est positive et non définie.

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