1ère solution. Montrons par récurrence que sur \(n=\mbox{dim}(E)\) que, si \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) est obtusangle, \(p\leq n+1\). Pour \(n=1\), une famille obtusangle ne peut contenir au moins trois vecteurs car si elle contient les vecteurs \(x_1\) et \(x_2\) verifiant \(x_1.x_2<0\), un vecteur \(x_3\) quelconque est soit nul (auquel cas \(x_3.x_1=0\)), soit de même sens que \(x_1\) (auquel cas \(x_1.x_3>0\)) soit de même sens que \(x_2\) (auquel cas \(x_2.x_3>0\)). Donc \(p\leq2\). Soit \(n\geq 1\). Suppososons que toute famille obtusangle d’un espace de dimension \(n\) a un cardinal inférieur ou égal à \(n+1\). Soit \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) une famille obtusangle d’un espace \(E\) de dimension \(n+1\). Si \(p=1\), il n’y a plus rien à dire. Supposons \(p\geq2\). \(x_p\) n’est pas nul et \(H=x_p^\bot\) est un hyperplan de \(E\) et donc est de dimension \(n\). Soit, pour \(1\leq i\leq p-1\), \(y_i=x_i-\frac{(x_i|x_p)}{||x_p||^2}x_p\) le projeté orthogonal de \(x_i\) sur \(H\). Vérifions que la famille \((y_i)_{1\leq i\leq p-1}\) est une famille obtusangle. Soit \((i,j)\in\llbracket1,p-1\rrbracket\) tel que \(i\neq j\).

\[y_i.y_j=x_i.x_j-\frac{(x_i|x_p)(x_j|x_p)}{||x_p||^2}-\frac{(x_j|x_p)(x_i|x_p)}{||x_p||^2}+\frac{(x_i|x_p)(x_j|x_p)(x_p|x_p)}{||x_p||^4}= x_i|x_j-\frac{(x_i|x_p)(x_j|x_p)}{||x_p||^2}<0.\] Mais alors, par hypothèse de récurrence, \(p-1\leq 1+\mbox{dim}H=n+1\) et donc \(p\leq n+2\). Le résultat est démontré par récurrence. 2ème solution. Montrons que si la famille \((x_i)_{1\leq i\leq p}\) est obtusangle, la famille \((x_i)_{1\leq i\leq p-1}\) est libre. Supposons par l’absurde, qu’il existe une famille de scalaires \((\lambda_i)_{1\leq i\leq p-1}\) non tous nuls tels que \(\sum_{i=1}^{p-1}\lambda_ix_i=0\;(*)\). Quite à multiplier les deux membres de \((*)\) par \(-1\), on peut supposer qu’il existe au moins un réel \(\lambda_i>0\). Soit \(I\) l’ensemble des indices \(i\) tels que \(\lambda_i>0\) et \(J\) l’ensemble des indices \(i\) tels que \(\lambda_i\leq0\) (éventuellement \(J\) est vide). \(I\) et \(J\) sont disjoints. (*) s’écrit \(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i=-\sum_{i\in J}^{}\lambda_ix_i\) (si \(J\) est vide, le second membre est nul). On a

\[0\leq\left\|\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i\right\|^2=\left(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i\right).\left(-\sum_{i\in J}^{}\lambda_ix_i\right)=\sum_{(i,j)\in I\times J}^{}\lambda_i(-\lambda_j)x_i.x_j\leq 0.\] Donc, \(\left\|\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i\right\|^2=0\) puis \(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i=0\). Mais, en faisant le produit scalaire avec \(x_p\), on obtient \(\left(\sum_{i\in I}^{}\lambda_ix_i\right).x_p=\sum_{i\in I}^{}\lambda_i(x_i.x_p)<0\) ce qui est une contradiction. La famille \((x_i)_{1\leq i\leq p-1}\) est donc libre. Mais alors son cardinal \(p-1\) est inférieur ou égal à la dimension \(n\) et donc \(p\leq n+1\).

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