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Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ , non nulle à valeurs réelles positives. Pour $P$ et $Q$ polynômes donnés, on pose $\Phi(P,Q) = \int_{0}^{1}f(t)P(t)Q(t)\;dt$ .

Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire sur $\Rr[X]$ .

Montrer qu’il existe une base orthonormale $(P_n)_{n\in\Nn}$ pour $\Phi$ telle que, pour tout entier naturel $n$ , $\text{deg}(P_n)= n$ .

Soit $(P_n)_{n\in\Nn}$ une telle base. Montrer que chaque polynôme $P_n$ , $n\in\Nn^*$ , a $n$ racines réelles simples.

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