Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\), non nulle à valeurs réelles positives. Pour \(P\) et \(Q\) polynômes donnés, on pose \(\Phi(P,Q) = \int_{0}^{1}f(t)P(t)Q(t)\;dt\).
1
Montrer que \(\Phi\) est un produit scalaire sur \(\Rr[X]\).
2
Montrer qu’il existe une base orthonormale \((P_n)_{n\in\Nn}\) pour \(\Phi\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(\text{deg}(P_n)= n\).
3
Soit \((P_n)_{n\in\Nn}\) une telle base. Montrer que chaque polynôme \(P_n\), \(n\in\Nn^*\), a \(n\) racines réelles simples.