Soit \((E,<,>)\) un espace euclidien, \(x_{0}\) un point de \(E\) et \(F\) un sous espace vectoriel de \(E\). On note \(\pi\) la projection orthogonale de \(E\) sur \(F\). On rappelle que pour \(x\in E\), \(\pi(x)\) est caractérisé par les relations : \[\pi(x)\in F\qquad\text{ et }\qquad x-\pi(x)\in F^{\bot}\]
Le but de cette partie est de montrer que la projection orthogonale de \(x_{0}\) sur \(F\) est le point de \(F\) le plus proche de \(x_{0}\).
En utilisant que \(x_{0}-y=(x_{0}-\pi(x_{0}))+(\pi(x_{0})-y)\), montrer que \[\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}+\Vert y-\pi(x_{0})\Vert^{2}.\]
En déduire que \(\inf\limits_{y\in F}\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}\), c’est à dire que : \[\forall y\in F,\ \Vert x_{0}-y\Vert^{2}\geq\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}\] A quelle condition a-t-on égalité dans la relation ci-dessus ?
Soit \((e_{1},\dots,e_{k})\) une base orthonormée de \(F\). Montrer que \(\pi(x_{0})=\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>e_{i}\)
Déduire des deux questions précédentes que \[\inf\limits_{y\in F}\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>e_{i}\Vert^{2} =\Vert x_{0}\Vert^{2}-\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>^{2}\]
Application : Le but est maintenant de déterminer \[\alpha=\inf\limits_{a,b\in \R^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at-b)^{2}dt.\]
On considère à cet effet l’espace \(F=\R_{1}[X]\), comme sous espace de \(E=F\oplus\R f_{0}\) où \(f_{0}\) est la fonction définie par \(f_{0}(t)=e^{t}\). On admettra sans démonstration que \(<f,g>=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)dt\) est un produit scalaire sur \(E\).
Donner une base orthonormée \((P_{1},P_{2})\) de \(\R_{1}[X]\) pour ce produit scalaire.
Calculer \(<f_{0},P_{1}>\), \(<f_{0},P_{2}>\), et \(\Vert f_{0}\Vert^{2}\). En déduire que \[\alpha=\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}-(2e^{-1})^{2}-\Big(\frac{e-e^{-1}}{2}\Big)^{2}.\]
Même question avec le calcul de \(\alpha'=\inf\limits_{a,b\in \R^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at^{2}-bt-c)^{2}dt.\) : commencer par chercher une base orthonormée de \(\R_{2}[X]\) pour le même produit scalaire, et en déduire \(\alpha'\).