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En utilisant que $x_{0}-y=(x_{0}-\pi(x_{0}))+(\pi(x_{0})-y)$, montrer que $$\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}+\Vert y-\pi(x_{0})\Vert^{2}.$$

En déduire que $\inf\limits_{y\in F}\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}$, c’est à dire que : $$\forall y\in F,\ \Vert x_{0}-y\Vert^{2}\geq\Vert x_{0}-\pi(x_{0})\Vert^{2}$$ A quelle condition a-t-on égalité dans la relation ci-dessus ?

Soit $(e_{1},\dots,e_{k})$ une base orthonormée de $F$. Montrer que $\pi(x_{0})=\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>e_{i}$

Déduire des deux questions précédentes que $$\inf\limits_{y\in F}\Vert x_{0}-y\Vert^{2}=\Vert x_{0}-\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>e_{i}\Vert^{2} =\Vert x_{0}\Vert^{2}-\sum_{i=1}^{k}<e_{i},x_{0}>^{2}$$

Application : Le but est maintenant de déterminer $$\alpha=\inf\limits_{a,b\in \R^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at-b)^{2}dt.$$

On considère à cet effet l’espace $F=\R_{1}[X]$, comme sous espace de $E=F\oplus\R f_{0}$ où $f_{0}$ est la fonction définie par $f_{0}(t)=e^{t}$. On admettra sans démonstration que $<f,g>=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)dt$ est un produit scalaire sur $E$.

Donner une base orthonormée $(P_{1},P_{2})$ de $\R_{1}[X]$ pour ce produit scalaire.

Calculer $<f_{0},P_{1}>$, $<f_{0},P_{2}>$, et $\Vert f_{0}\Vert^{2}$. En déduire que $$\alpha=\frac{e^{2}-e^{-2}}{2}-(2e^{-1})^{2}-\Big(\frac{e-e^{-1}}{2}\Big)^{2}.$$

Même question avec le calcul de $\alpha'=\inf\limits_{a,b\in \R^{2}}\int_{-1}^{1} (e^{t}-at^{2}-bt-c)^{2}dt.$ : commencer par chercher une base orthonormée de $\R_{2}[X]$ pour le même produit scalaire, et en déduire $\alpha'$.