L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa MP · MPIPrépa PCPrépa PSIPrépa PT 3 questions

exo7 3704

Soit (i⃗,j⃗,k⃗)(\vec i,\vec j,\vec k) une bond d’un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 EE, et f∈O+(E)f \in {\cal O}^+(E).

1

On suppose f(j⃗)⊥i⃗f(\vec j) \perp \vec i. Montrer qu’il existe r,r′r,r' rotations autour de j⃗\vec j et i⃗\vec i telles que r′∘r=fr' \circ r = f.

2

En déduire que tout f∈O+(E)f \in {\cal O}^+(E) se décompose de deux manières sous la forme : f=r′′∘r′∘rf = r'' \circ r' \circ r où r,r′′r,r'' sont des rotations autour de j⃗\vec j et r′r' est une rotation autour de i⃗\vec i.

3

Décomposer (x,y,z)↦(y,x,z)(x,y,z) \mapsto (y,x,z) et (x,y,z)↦(xcos⁡α−ysin⁡α,xsin⁡α+ycos⁡α,z)(x,y,z) \mapsto (x\cos\alpha-y\sin\alpha, x\sin\alpha+y\cos\alpha, z).

Exercice CHlJ

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