On considère un espace euclidien \((E,<>)\).
Théorème de Pythagore :
Soient \(u\) et \(v\) deux vecteurs orthogonaux de \(E\). Calculer \(||u+v||^{2}\). Illustrer le résultat obtenu à l’aide d’un dessin.
Projection orthogonale et distance à un sous-espace : Soit \(F\) un sous-espace de \(E\). On rappelle que \(E=F\oplus F^{\bot}\), et donc que tout vecteur \(x\) de \(E\) se décompose de manière unique en une somme \(x=x_{1}+_{2}\) avec \(x_{1}\in F\) et \(x_{2}\in F^{\bot}\). Le vecteur \(x_{1}\) s’appelle alors la projection orthogonale de \(x\) sur \(F\).
Montrer que l’application \(p\) qui à un vecteur asocie sa projection orthogonale sur \(E\) est une application linéaire. Vérifier que : \(\forall y\in F, <x-p(x),y>=0\).
[q: proj-realise-d] On considère maintenant un vecteur \(x\) de \(E\). On appelle distance de \(x\) à \(F\) le nombre \(\mathrm{dist}(x,F)=\inf_{y\in F}\Vert x-y\Vert\).
Pour \(y\in F\), vérifier que \(x-p(x)\) et \(y-p(x)\) sont orthogonaux. Utiliser alors la question 1 pour montrer que \(||x-y||^{2}\geq ||x-p(x)||^{2}\). Illustrer sur un dessin.
En déduire que \(\mathrm{dist}(x,F)=||x-p(x)||\).
[q: proj-en-coord] Soit \((e_{1},\ldots,e_{r})\) une base orthonormée de \(F\). Montrer que \(p(x)=\sum_{i=1}^{r}<x,e_{i}>\;e_{i}\).