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Théorème de Pythagore :

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs orthogonaux de $E$. Calculer $||u+v||^{2}$. Illustrer le résultat obtenu à l’aide d’un dessin.

Projection orthogonale et distance à un sous-espace : Soit $F$ un sous-espace de $E$. On rappelle que $E=F\oplus F^{\bot}$, et donc que tout vecteur $x$ de $E$ se décompose de manière unique en une somme $x=x_{1}+_{2}$ avec $x_{1}\in F$ et $x_{2}\in F^{\bot}$. Le vecteur $x_{1}$ s’appelle alors la projection orthogonale de $x$ sur $F$.

Montrer que l’application $p$ qui à un vecteur asocie sa projection orthogonale sur $E$ est une application linéaire. Vérifier que : $\forall y\in F, <x-p(x),y>=0$.

On considère maintenant un vecteur $x$ de $E$. On appelle distance de $x$ à $F$ le nombre $\mathrm{dist}(x,F)=\inf_{y\in F}\Vert x-y\Vert$.

Pour $y\in F$, vérifier que $x-p(x)$ et $y-p(x)$ sont orthogonaux. Utiliser alors la question 1 pour montrer que $||x-y||^{2}\geq ||x-p(x)||^{2}$. Illustrer sur un dessin.

En déduire que $\mathrm{dist}(x,F)=||x-p(x)||$.

Soit $(e_{1},\ldots,e_{r})$ une base orthonormée de $F$. Montrer que $p(x)=\sum_{i=1}^{r}<x,e_{i}>\;e_{i}$.