Soient \(E\) un espace euclidien, \(u\) un vecteur non nul et \(H = u^{\bot}\). Soient \(p\) la projection orthogonale sur \(H\) et \(s\) la symétrie orthogonale par rapport à \(H\).
1
Montrer que \(\forall x \in E \qquad p (x) = x-\frac{\langle x|u \rangle} {\left\| u\right\|^{2}}u\).
2
Montrer que \(\forall x \in E \qquad s (x) = x-2\frac{\langle x|u \rangle} {\left\| u\right\|^{2}}u\).
3
On considère dans \(\Rr^{3}\) le plan \((\Pi : x-y + z = 0)\). Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à \(\Pi\).