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Montrer que l’intégrale $I_n$ est convergente. Que vaut $I_{2p+1}$ ?

Soit $\varphi : E \times E \to \R$ définie par $\varphi(P,Q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{\frac{-t^2}{2}}dt$.

Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire.

On suppose $n = 2$. Ecrire la matrice associée à $\varphi$ dans la base $(1,X,X^2)$. Construire une base orthonormale $(P_0,P_1,P_2)$ par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt appliqué à $(1,X,X^2)$.