Soient \(E = \R_n[X], I_n = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} t^ne^{\frac{-t^2}{2}}dt\).
1
Montrer que l’intégrale \(I_n\) est convergente. Que vaut \(I_{2p+1}\) ?
Soit \(\varphi : E \times E \to \R\) définie par \(\varphi(P,Q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{\frac{-t^2}{2}}dt\).
2
Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire.
3
On suppose \(n = 2\). Ecrire la matrice associée à \(\varphi\) dans la base \((1,X,X^2)\). Construire une base orthonormale \((P_0,P_1,P_2)\) par le procédé d’orthogonalisation de Schmidt appliqué à \((1,X,X^2)\).