La matrice de la famille \((f_1,f_2,f_3,f_4)\) dans la base canonique du dual de \(\Rr^4\) est \(A =\left( \begin{array}{cccc} 1&1&1&0\\ 2&1&0&1\\ -1&m&1&-3\\ -2&1&m+4&-m \end{array} \right)\). La matrice \(A\) a même rang que la matrice \(\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 2&-1&-2&1\\ -1&m+1&2&-3\\ -2&3&m+6&-m \end{array} \right)\) (pour \(2\leqslant j\leqslant 3\), \(C_j\leftarrow C_j-C_1\)) puis que la matrice \(\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 2&-1&0&0\\ -1&m+1&-2m&m-2\\ -2&3&m&-m+3 \end{array} \right)\) (\(C_3\leftarrow C_3-2C_2\) et \(C_4\leftarrow C_4+C_2\))

Si \(m = 0\), \(A\) a même rang que la matrice \(\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0\\ 2&-1&0\\ -1&1&-2\\ -2&3&3 \end{array} \right)\)et donc \(\text{rg}(A)=3\).

Si \(m\neq0\), \(A\) a même rang que la matrice \(\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 2&-1&0&0\\ -1&m+1&-2&m-2\\ -2&3&1&-m+3 \end{array} \right)\) (\(C_3\leftarrow\frac{1}{m}C_3\)) puis que la matrice \(\left( \begin{array}{cccc} 1&0&0&0\\ 2&-1&0&0\\ -1&m+1&-2&0\\ -2&3&1&-m+4 \end{array} \right)\) (\(C_4\leftarrow2C_4+(m-2)C_3\))

Donc, si \(m =4\), \(\text{rg}(A)= 3\) et si \(m\) n’est ni \(0\) ni \(4\), \(\text{rg}(A)=4\).

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