Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ dont les éléments sont les polynômes pairs et $G$ le sous-espace vectoriel de $E$ dont les éléments sont les polynômes impairs. $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ .

Soit $P$ est un polynôme pair et non nul. Tout d’abord , $Q(P)\sum_{k=0}^{+\infty}(P(k))^2e^{-k}\geqslant0$ . De plus, comme $P$ ne peut admettre tout entier naturel pour racine, on a plus précisément $Q(P)> 0$ . De même, si $P$ est impair et non nul, $Q(P) < 0$ .

Ainsi, la restriction de $Q$ à $F$ (resp. $G$ ) est définie positive (resp.négative). Enfin, si $P_1$ est pair et $P_2$ est impair, on a

$B(P_1,P_2)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_1(k)P_2(-k)e^{-k}=-\sum_{k=0}^{+\infty}P_1(k)P_2(k)e^{-k}=-\sum_{k=0}^{+\infty}P_1(-k)P_2(k)e^{-k}=-B(P_2,P_1)=-B(P_1,P_2)$ ,

et donc $B(P_1,P_2) = 0$ ( $F$ et $G$ sont orthogonaux pour $B$ ).

Il existe un base de $F$ dans laquelle $Q_{/F}$ est combinaison linéaire à coefficients strictement positifs de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes en nombre égal à $\text{dim}(F)$ et de même il existe un base de $G$ dans laquelle $Q_{/G}$ est combinaison linéaire à coefficients strictement négatifs de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes en nombre égal à $\text{dim}(G)$ . Maintenant, si $P$ est un polynôme quelconque de parties paire et impaire $P_1$ et $P_2$ respectivement,

$Q(P)=Q(P_1+P_2) =Q(P_1)+2B(P_1,P_2)+Q(P_2) = Q_{/F}(P_1)+Q_{/G}(P_2)$ .

Donc la réunion des deux bases ci-dessus est une base de $E$ dans laquelle $Q$ est combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes dans laquelle $\text{dim}(F)=E\left(\frac{n}{2}\right)+1$ coefficients sont strictement positifs et $\text{dim}(G)=E\left(\frac{n+1}{2}\right)$ sont strictement négatifs. Finalement,

$Q$ est donc non dégénérée de signature $s=\left(E\left(\frac{n}{2}\right)+1,E\left(\frac{n+1}{2}\right)\right)$ .

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