Soit \(F\) le sous-espace vectoriel de \(E\) dont les éléments sont les polynômes pairs et \(G\) le sous-espace vectoriel de \(E\) dont les éléments sont les polynômes impairs. \(F\) et \(G\) sont supplémentaires dans \(E\).

Soit \(P\) est un polynôme pair et non nul. Tout d’abord , \(Q(P)\sum_{k=0}^{+\infty}(P(k))^2e^{-k}\geqslant0\). De plus, comme \(P\) ne peut admettre tout entier naturel pour racine, on a plus précisément \(Q(P)> 0\). De même, si \(P\) est impair et non nul, \(Q(P) < 0\).

Ainsi, la restriction de \(Q\) à \(F\) (resp. \(G\)) est définie positive (resp.négative). Enfin, si \(P_1\) est pair et \(P_2\) est impair, on a

\(B(P_1,P_2)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_1(k)P_2(-k)e^{-k}=-\sum_{k=0}^{+\infty}P_1(k)P_2(k)e^{-k}=-\sum_{k=0}^{+\infty}P_1(-k)P_2(k)e^{-k}=-B(P_2,P_1)=-B(P_1,P_2)\),

et donc \(B(P_1,P_2) = 0\) (\(F\) et \(G\) sont orthogonaux pour \(B\)).

Il existe un base de \(F\) dans laquelle \(Q_{/F}\) est combinaison linéaire à coefficients strictement positifs de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes en nombre égal à \(\text{dim}(F)\) et de même il existe un base de \(G\) dans laquelle \(Q_{/G}\) est combinaison linéaire à coefficients strictement négatifs de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes en nombre égal à \(\text{dim}(G)\). Maintenant, si \(P\) est un polynôme quelconque de parties paire et impaire \(P_1\) et \(P_2\) respectivement,

\(Q(P)=Q(P_1+P_2) =Q(P_1)+2B(P_1,P_2)+Q(P_2) = Q_{/F}(P_1)+Q_{/G}(P_2)\).

Donc la réunion des deux bases ci-dessus est une base de \(E\) dans laquelle \(Q\) est combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes dans laquelle \(\text{dim}(F)=E\left(\frac{n}{2}\right)+1\) coefficients sont strictement positifs et \(\text{dim}(G)=E\left(\frac{n+1}{2}\right)\) sont strictement négatifs. Finalement,

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