Soient \(A\) et \(B\) deux matrices symétriques réelles positives.

1er cas. Supposons qu’aucune des deux matrices \(A\) ou \(B\) n’est inversible, alors \(\text{det}A +\text{det}B = 0\).

D’autre part, la matrice \(A+B\) est symétrique car \((\mathcal{S}_n(R),+,.)\) est un espace vectoriel et ses valeurs propres sont donc réelles. De plus, pour \(X\) vecteur colonne donné, \({^t}X(A+B)X= {^t}XAX+{^t}XBX\geqslant 0\).

La matrice \(A+B\) est donc symétrique réelle positive. Par suite, les valeurs propres de la matrice \(A+B\) sont des réels positifs et puisque \(\text{det}(A+B)\) est le produit de ces valeurs propres, on a \(\text{det}(A+B)\geqslant 0 =\text{det}A +\text{det}B\).

2ème cas. Sinon, une des deux matrices \(A\) ou \(B\) est inversible (et donc automatiquement définie positive). Supposons par exemple \(A\) définie positive.

D’après l’exercice [ex:rou2], il existe une matrice inversible \(M\) telle que \(A ={^t}MM\). On peut alors écrire \(A + B ={^t}MM + B ={^t}M(I_n+{^t}(M^{-1}BM^{-1})M\) et donc

\(\text{det}(A+B) =(\text{det}M)^2\text{det}(I_n+{^t}(M^{-1})BM^{-1}= (\text{det}M)^2\text{det}(I_n+C)\)

où \(C ={^t}M^{-1}BM^{-1}\). La matrice \(C\) est symétrique, positive car pour tout vecteur colonne \(X\),

\({^t}XCX={^t}X{^t}(M^{-1})BM^{-1} X ={^t}(M^{-1}X)B(M^{-1}X)\geqslant 0\)

et ses valeurs propres \(\lambda_1\),..., \(\lambda_n\) sont des réels positifs. Les valeurs propres de la matrice \(I_n + C\) sont les réels \(1 +\lambda_i\), \(1\leqslant i\leqslant n\) et donc

\(\text{det}(I_n+C) = (1+\lambda_1)...(1+\lambda_n)\geqslant 1 +\lambda_1...\lambda_n = 1 +\text{det}C\).

Maintenant, \(\text{det}A = (\text{det}M)^2\) puis \(\text{det}B=(\text{det}M)^2\text{det}C\) et donc

\(\text{det}A +\text{det}B =(\text{det}M)^2(1+\text{det}C)\leqslant (\text{det}M)^2\text{det}(I_n+C) = \text{det}(A+B)\).

On a montré que

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