Soient \(\vec x_1,\dots,\vec x_n\) des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien \(E\), et \(G\) leur matrice de Gram.
1
Montrer que \(\mathrm{rg} G = \mathrm{rg}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)\).
2
Montrer que \(\det G\) est inchangé si on remplace \(\vec x_k\) par \(\vec x_k - \sum_{i\ne k} \lambda_i \vec x_i\).
3
Soit \(F = \text{vect}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)\) et \(\vec x \in E\). On note \(d(\vec x,F) = \min(\|\vec x-\vec y\,\|, \vec y \in F)\).
Montrer que \(d(\vec x,F)^2 = \frac {\text{Gram}(\vec x_1,\dots,\vec x_n, \vec x)}{\text{Gram}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)}\).