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Soient $\vec x_1,\dots,\vec x_n$ des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien $E$ , et $G$ leur matrice de Gram.

Montrer que $\mathrm{rg} G = \mathrm{rg}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)$ .

Montrer que $\det G$ est inchangé si on remplace $\vec x_k$ par $\vec x_k - \sum_{i\ne k} \lambda_i \vec x_i$ .

Soit $F = \text{vect}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)$ et $\vec x \in E$ . On note $d(\vec x,F) = \min(\|\vec x-\vec y\,\|, \vec y \in F)$ .

Montrer que $d(\vec x,F)^2 = \frac {\text{Gram}(\vec x_1,\dots,\vec x_n, \vec x)}{\text{Gram}(\vec x_1,\dots,\vec x_n)}$ .