Soit \((E , \langle , \rangle )\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E .\) On note \(p\) la projection orthogonale sur \(F\) et on pose, pour tout \(\displaystyle{ x\in E : d(x, F)= \inf _{y\in F}\Vert x-y\Vert } .\) Soit \(z \in F .\)
1
Montrer que pour tout \(x\in F ,\) les trois conditions sont équivalentes :
2
[(i)] \(d(x,F)=\Vert x-z\Vert .\)
3
[(ii)] \(z=p(x) .\)
4
[(iii)] \(\forall y \in F , y\perp (x-z) .\)