On considère l’espace vectoriel \(\R^n\) (\(n \ge 2\)), et \(p \ge 1\) un nombre réel. On définit l’application \[N_p: \R^n \to \R, x = (x_1,\ldots,x_n) \mapsto N_p(x) = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{\frac 1 p}.\]
Montrer que \(N_p\) est une norme sur \(\R_n\) ; on la note aussi \(\|\cdot\|_p\). Dans les cas où \(p \neq 1\), \(p \neq 2\), on pourra s’aider de la relation suivante (admise) : \[\sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p \right)^{\frac 1 p} \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^{\frac p{p-1}} \right)^{\frac{p-1}p} \qquad\qquad \forall a, b\in \R^n.\]
On définit, pour tout \(x\in \R^n\), \(N_\infty(x) = \lim_{p\to\infty} \|x\|_p\). Montrer que cette limite existe pour tout \(x\), et que \(N_\infty(x) = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\). Démontrer qu’il s’agit aussi d’une norme sur \(\R^n\) ; on la note aussi \(\|\cdot\|_\infty\).
Dessiner les “boules” \(\{x\in\R^2,\ N_p(x)\leq 1\}\) dans les cas où \(p=1\), \(p=2\), \(p=\infty\). À quoi ressemblent les cas des valeurs intermédiaires ?