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Montrer que $N_p$ est une norme sur $\R_n$ ; on la note aussi $\|\cdot\|_p$. Dans les cas où $p \neq 1$, $p \neq 2$, on pourra s’aider de la relation suivante (admise) : $$\sum_{i=1}^n |a_i b_i| \leq \left(\sum_{i=1}^n |a_i|^p \right)^{\frac 1 p} \left(\sum_{i=1}^n |b_i|^{\frac p{p-1}} \right)^{\frac{p-1}p} \qquad\qquad \forall a, b\in \R^n.$$

On définit, pour tout $x\in \R^n$, $N_\infty(x) = \lim_{p\to\infty} \|x\|_p$. Montrer que cette limite existe pour tout $x$, et que $N_\infty(x) = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$. Démontrer qu’il s’agit aussi d’une norme sur $\R^n$ ; on la note aussi $\|\cdot\|_\infty$.

Dessiner les “boules” $\{x\in\R^2,\ N_p(x)\leq 1\}$ dans les cas où $p=1$, $p=2$, $p=\infty$. À quoi ressemblent les cas des valeurs intermédiaires ?