L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 3 questions

exo7 3751

$E = \mathcal{M}_n(\R)$ muni du produit scalaire : $(A\mid B) = \mathrm{tr}({}^tAB)$ .

Vérifier que c’est un produit scalaire.

Soit $P \in {\cal O}(n)$ . Montrer que les applications $\begin{cases} \phi_P : A \longmapsto AP \cr \psi_P : A \longmapsto P^{-1}AP \cr\end{cases}$ sont orthogonales.

Réciproquement, si $\phi_P$ ou $\psi_P \in {\cal O}(\mathcal{M}_n(\R))$ , est-ce que $P \in {\cal O}(n)$ ?