\(E = \mathcal{M}_n(\R)\) muni du produit scalaire : \((A\mid B) = \mathrm{tr}({}^tAB)\).
1
Vérifier que c’est un produit scalaire.
2
Soit \(P \in {\cal O}(n)\). Montrer que les applications \(\begin{cases} \phi_P : A \longmapsto AP \cr \psi_P : A \longmapsto P^{-1}AP \cr\end{cases}\) sont orthogonales.
3
Réciproquement, si \(\phi_P\) ou \(\psi_P \in {\cal O}(\mathcal{M}_n(\R))\), est-ce que \(P \in {\cal O}(n)\) ?