L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2IPrépa PCSIPrépa PTSI 2 questions

exo7 5775

On note EE l’ensemble des suites réelles de carrés sommables c’est-dire les suites réelles (un)n∈N(u_n)_{n\in\Nn} telles que

∑n=0+∞un2<+∞\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2<+\infty.

1

Montrer que EE est un R\Rr-espace vectoriel.

2

Pour (u,v)∈E2(u,v)\in E^2, on pose φ(u,v)=∑n=0+∞unvn\varphi(u,v)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n. Montrer que φ\varphi est un produit scalaire sur EE.

Exercice V7Fu

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