Si la famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est une famille liée, l’inégalité est claire et de plus, on a l’égalité si et seulement si l’un des vecteurs est nuls. Si la famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est une famille libre et donc une base de E, considérons \(\mathcal{B}'=(e_1,...,e_n)\) son orthonormalisée de Schmidt. On a

\[\left|\mbox{det}_{\mathcal{B}}(x_i)_{1\leq i\leq n}\right|=\left|\mbox{det}_{\mathcal{B}'}(x_i)_{1\leq i\leq n}\times\mbox{det}_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}')\right|=|\mbox{det}_{\mathcal{B}'}(x_i)_{1\leq i\leq n}|,\] car \(\mbox{det}_{\mathcal{B}}\mathcal{B}'\) est le déterminant d’une d’une base orthonormée dans une autre et vaut donc \(1\) ou \(-1\). Maintenant, la matrice de la famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) dans \(\mathcal{B}'\) est triangulaire supérieure et son déterminant est le produit des coefficients diagonaux à savoir les nombres \(x_i|e_i\) (puisque \(\mathcal{B}'\) est orthonormée). Donc

\[|\mbox{det}_{\mathcal{B}}(x_i)_{1\leq i\leq n}|=|\mbox{det}_{\mathcal{B}'}(x_i)_{1\leq i\leq n}|=\left|\prod_{i=1}^{n}(x_i|e_i)\right|\leq\prod_{i=1}^{n}\|x_i\|\times\|e_i\|=\prod_{i=1}^{n}||x_i||,\] d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz. De plus, on a l’égalité si et seulement si, pour tout \(i\), \(|x_i|e_i|=\|x_i\|\times\|e_i\|\) ou encore si et seulement si, pour tout \(i\), \(x_i\) est colinéaire à \(e_i\) ou enfin si et seulement si la famille \((x_i)_{1\leq i\leq n}\) est orthogonale.

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