Si la famille $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ est une famille liée, l’inégalité est claire et de plus, on a l’égalité si et seulement si l’un des vecteurs est nuls. Si la famille $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ est une famille libre et donc une base de E, considérons $\mathcal{B}'=(e_1,...,e_n)$ son orthonormalisée de Schmidt. On a

$\left|\mbox{det}_{\mathcal{B}}(x_i)_{1\leq i\leq n}\right|=\left|\mbox{det}_{\mathcal{B}'}(x_i)_{1\leq i\leq n}\times\mbox{det}_{\mathcal{B}}(\mathcal{B}')\right|=|\mbox{det}_{\mathcal{B}'}(x_i)_{1\leq i\leq n}|,$ car $\mbox{det}_{\mathcal{B}}\mathcal{B}'$ est le déterminant d’une d’une base orthonormée dans une autre et vaut donc $1$ ou $-1$ . Maintenant, la matrice de la famille $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ dans $\mathcal{B}'$ est triangulaire supérieure et son déterminant est le produit des coefficients diagonaux à savoir les nombres $x_i|e_i$ (puisque $\mathcal{B}'$ est orthonormée). Donc

$|\mbox{det}_{\mathcal{B}}(x_i)_{1\leq i\leq n}|=|\mbox{det}_{\mathcal{B}'}(x_i)_{1\leq i\leq n}|=\left|\prod_{i=1}^{n}(x_i|e_i)\right|\leq\prod_{i=1}^{n}\|x_i\|\times\|e_i\|=\prod_{i=1}^{n}||x_i||,$ d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz. De plus, on a l’égalité si et seulement si, pour tout $i$ , $|x_i|e_i|=\|x_i\|\times\|e_i\|$ ou encore si et seulement si, pour tout $i$ , $x_i$ est colinéaire à $e_i$ ou enfin si et seulement si la famille $(x_i)_{1\leq i\leq n}$ est orthogonale.

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