$A=UT\,^tU \Rightarrow A\overline A = UT\overline T\,{}^t\overline{U}$ est semblable à $T\overline T$ . $A\overline A$ est à valeurs propres positives distinctes. Soit $U$ unitaire trigonalisant $A\overline A$ et $T = U^{-1}A\,{}^tU^{-1}$ . Donc $T\overline T$ est triangulaire supérieure à valeurs propres réelles distinctes. On montre que ceci implique $T$ triangulaire supérieure par récurrence sur $n$ .

$T = \begin{pmatrix}t&X\cr Y&Z\cr\end{pmatrix} \Rightarrow T\overline T = \begin{pmatrix}|t|^2 + X\overline Y &t\overline X + X\overline Z\cr \overline tY + Z\overline Y &Y\overline X + Z\overline Z\cr\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\text{réel}&*\cr 0&\text{tr.sup à vp réelles}\cr\end{pmatrix}$ .

Donc $X\overline Y = \overline XY$ et $Z\overline Y = -\overline tY$ , d’où $(Y\overline X - X\overline YI)Y = 0 = (Z\overline Z - |t|^2I)Y$ .

Par hypothèse $Y\overline X + Z\overline Z - (|t|^2 + X\overline Y)I$ est inversible donc $Y=0$ et on est ramené au cas $n-1$ . $A\overline A$ est à valeurs propres positives : ???

Solution de Pierre Février (MP $^*$ Neuilly sur Seine) :

lemme : Si $\lambda \in \text{Sp} (A\overline{A})$ alors il existe $W\ne 0$ et $\alpha \in \R$ tels que $A\overline{W}=\alpha W$ et $\alpha ^2=\lambda$ .

Soit $V \in E_{\lambda}(A\overline{A}),\ V\ne 0$ . Si $A\overline{V}=-\sqrt{\lambda}\,V$ on a le résultat voulu, sinon on pose $W=A\overline{V}+\sqrt{\lambda}\,V$ . On a alors : $\overline{A}W=\overline{A}A\overline{V}+\sqrt{\lambda}\,\overline{A}V=\lambda \overline{V}+ \sqrt{\lambda}\,\overline{A}V=\sqrt{\lambda}\,\overline{W}$ On peut s’arranger pour que le vecteur précédent soit unitaire et construire $U$ matrice unitaire de première colonne $W$ .

On a alors $^t\overline UA\overline U=\begin{pmatrix} \alpha & x & x & x\cr 0 & & & \cr \vdots & & B & \cr 0 & & & \cr\end{pmatrix}$ , puis $^t\overline UA\overline AU=\begin{pmatrix} \alpha ^2 & y & y & y\cr 0 & & & \cr \vdots & & B \overline B & \cr 0 & & & \cr\end{pmatrix}$ . On en déduit le résultat par récurrence.

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