\(A=UT\,^tU \Rightarrow A\overline A = UT\overline T\,{}^t\overline{U}\) est semblable à \(T\overline T\). \(A\overline A\) est à valeurs propres positives distinctes. Soit \(U\) unitaire trigonalisant \(A\overline A\) et \(T = U^{-1}A\,{}^tU^{-1}\). Donc \(T\overline T\) est triangulaire supérieure à valeurs propres réelles distinctes. On montre que ceci implique \(T\) triangulaire supérieure par récurrence sur \(n\).

\(T = \begin{pmatrix}t&X\cr Y&Z\cr\end{pmatrix} \Rightarrow T\overline T = \begin{pmatrix}|t|^2 + X\overline Y &t\overline X + X\overline Z\cr \overline tY + Z\overline Y &Y\overline X + Z\overline Z\cr\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\text{réel}&*\cr 0&\text{tr.sup à vp réelles}\cr\end{pmatrix}\).

Donc \(X\overline Y = \overline XY\) et \(Z\overline Y = -\overline tY\), d’où \((Y\overline X - X\overline YI)Y = 0 = (Z\overline Z - |t|^2I)Y\).

Par hypothèse \(Y\overline X + Z\overline Z - (|t|^2 + X\overline Y)I\) est inversible donc \(Y=0\) et on est ramené au cas \(n-1\). \(A\overline A\) est à valeurs propres positives : ???

Solution de Pierre Février (MP\(^*\) Neuilly sur Seine) :

lemme : Si \(\lambda \in \text{Sp} (A\overline{A})\) alors il existe \(W\ne 0\) et \(\alpha \in \R\) tels que \(A\overline{W}=\alpha W\) et \(\alpha ^2=\lambda\).

Soit \(V \in E_{\lambda}(A\overline{A}),\ V\ne 0\). Si \(A\overline{V}=-\sqrt{\lambda}\,V\) on a le résultat voulu, sinon on pose \(W=A\overline{V}+\sqrt{\lambda}\,V\). On a alors : \[\overline{A}W=\overline{A}A\overline{V}+\sqrt{\lambda}\,\overline{A}V=\lambda \overline{V}+ \sqrt{\lambda}\,\overline{A}V=\sqrt{\lambda}\,\overline{W}\] On peut s’arranger pour que le vecteur précédent soit unitaire et construire \(U\) matrice unitaire de première colonne \(W\).

On a alors \(^t\overline UA\overline U=\begin{pmatrix} \alpha & x & x & x\cr 0 & & & \cr \vdots & & B & \cr 0 & & & \cr\end{pmatrix}\), puis \(^t\overline UA\overline AU=\begin{pmatrix} \alpha ^2 & y & y & y\cr 0 & & & \cr \vdots & & B \overline B & \cr 0 & & & \cr\end{pmatrix}\). On en déduit le résultat par récurrence.

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