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Soit \(P \in \R[X]\) de degré inférieur ou égal à 3 tel que \(\int_{t=-1}^1 P^2(t)\,d t = 1\).
Montrer que \(\sup\{ |P(x)|\text{ tq } -1\le x \le 1\} \le 2\sqrt2\).
Indications : Pour \(a\in\R\) montrer qu’il existe \(P_a\in\R_3[X]\) tel que : \(\forall\ P\in\R_3[X],\ P(a) = \int_{t=-1}^1 P(t)P_a(t)\,d t\). Calculer explicitement \(P_a\), et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.