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Soit $P \in \R[X]$ de degré inférieur ou égal à 3 tel que $\int_{t=-1}^1 P^2(t)\,d t = 1$.

Montrer que $\sup\{ |P(x)|\text{ tq } -1\le x \le 1\} \le 2\sqrt2$.

Indications : Pour $a\in\R$ montrer qu’il existe $P_a\in\R_3[X]$ tel que : $\forall\ P\in\R_3[X],\ P(a) = \int_{t=-1}^1 P(t)P_a(t)\,d t$. Calculer explicitement $P_a$, et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.