L2 Algèbre Espace euclidien, espace normé Prépa MPSI · MP2I Prépa PCSI Prépa PTSI Prépa MP · MPI Prépa PC Prépa PSI Prépa PT 2 questions

exo7 3742

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ . Soit $u \in {\cal O}(E)$ . On note $v = \text{id}_E - u$ .

Montrer que $\mathrm{Ker} v = (\Im v)^\perp$ .

Soit $p$ la projection orthogonale sur $\mathrm{Ker} v$ . Montrer que : $\forall\ \vec x \in E,\ \frac 1m\sum_{k=0}^{m-1}u^k(\vec x) \to p(\vec x)$ lorsque $m\to\infty$ .