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Soit $G$ un sous groupe compact de $GL_n(\C)$. Si $M\in G$ montrer que $\mathrm{Sp}(M)\subset\mathbb{U}$. En déduire que tout élément de $G$ est diagonalisable.

Soit $M\in U_n(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable et qu’il existe une base orthonormée de $\C^n$ propre pour $M$.

Soit $M\in O_n(\R)$. Montrer qu’il existe $P\in O_n(\R)$ telle que $P^{-1}MP$ est diagonale par blocs :

$P^{-1}MP = \mathrm{diag}(\pm1,\dots,\pm1,R_1,\dots,R_k)$ où chaque $R_i$ est une matrice de la forme : $R_i = \begin{pmatrix}\cos\theta_i &-\sin\theta_i\cr \sin\theta_i &\cos\theta_i\cr\end{pmatrix}$.