1
Soit \(G\) un sous groupe compact de \(GL_n(\C)\). Si \(M\in G\) montrer que \(\mathrm{Sp}(M)\subset\mathbb{U}\). En déduire que tout élément de \(G\) est diagonalisable.
2
Soit \(M\in U_n(\C)\). Montrer que \(M\) est diagonalisable et qu’il existe une base orthonormée de \(\C^n\) propre pour \(M\).
3
Soit \(M\in O_n(\R)\). Montrer qu’il existe \(P\in O_n(\R)\) telle que \(P^{-1}MP\) est diagonale par blocs :
\(P^{-1}MP = \mathrm{diag}(\pm1,\dots,\pm1,R_1,\dots,R_k)\) où chaque \(R_i\) est une matrice de la forme : \(R_i = \begin{pmatrix}\cos\theta_i &-\sin\theta_i\cr \sin\theta_i &\cos\theta_i\cr\end{pmatrix}\).