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Soit $E = \mathcal{C}([a,b],\R)$ et $(a_n)$ une suite d’éléments de $[a,b]$ .

Pour $f,g \in E$ , on pose : $(f\mid g) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(a_n)g(a_n)}{2^n}$ .

A quelle condition sur la suite $(a_n)$ définit-on un produit scalaire ?

Soient $a=(a_n)$ et $b=(b_n)$ deux telles suites telles que les ensembles $\{a_n,n\in\N\}$ et $\{b_n,n\in\N\}$ sont distincts. Montrer que les normes correspondantes sont non équivalentes.

Question ouverte : à quelle condition les normes associées à deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont-elles équivalentes ?

Montrer qu’il n’existe pas de suite $(a_n)$ pour laquelle $E$ soit complet.

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