Soit \(E = \mathcal{C}([a,b],\R)\) et \((a_n)\) une suite d’éléments de \([a,b]\).
Pour \(f,g \in E\), on pose : \((f\mid g) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f(a_n)g(a_n)}{2^n}\).
1
A quelle condition sur la suite \((a_n)\) définit-on un produit scalaire ?
2
Soient \(a=(a_n)\) et \(b=(b_n)\) deux telles suites telles que les ensembles \(\{a_n,n\in\N\}\) et \(\{b_n,n\in\N\}\) sont distincts. Montrer que les normes correspondantes sont non équivalentes.
3
Question ouverte : à quelle condition les normes associées à deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont-elles équivalentes ?
4
Montrer qu’il n’existe pas de suite \((a_n)\) pour laquelle \(E\) soit complet.